引力波天文系列文章将介绍引力波能观测到什么，如何观测，以及基本的数据分析方法。侧重于引力波的空间探测和分析，但核心的测量原理、仪器响应以及数据分析方法基本都是通用的。
研究目标：波源概述(基本波源及频谱划分)
探测技术：响应与灵敏度、空间探测技术
数据分析：数据分析方法、数据分析实践
本文首先介绍引力波能观测什么，即常见的科学目标。
基本科学目标
Space Detectors of GW( Fulvio Ricci , Massimo Bassan)
爆发源：大质量双黑洞并和MB
连续源：双中子星、双白矮星、恒星级双黑洞、极端质量比旋近
随机背景：双白矮星背景、宇宙学背景
取坐标轴zzz方向沿波源传播方向为k^\hat{k}k^，x,yx,yx,y沿+++模式伸缩方向，
hijTT=Λij,klhklh_{ij}^{TT} = \Lambda_{ij,kl} h_{kl}
hijTT=Λij,klhkl
在波源参考系中，偏振方向如何确定？
Λab,cd(k^)=δacδbd−12δabδcd−(kakcδbd−kbkdδac)+12(kakbδcd+kckdδab)+12kakbkckd\Lambda_{ab, cd}(\hat{k}) = \delta_{ac}\delta_{bd} - \frac{1}{2}\delta_{ab}\delta_{cd} - (k_{a}k_{c}\delta_{bd} - k_{b}k_{d}\delta_{ac}) + \frac{1}{2}(k_{a}k_{b}\delta_{cd} + k_{c}k_{d}\delta_{ab}) + \frac{1}{2}k_{a}k_{b}k_{c}k_{d}
Λab,cd(k^)=δacδbd−21δabδcd−(kakcδbd−kbkdδac)+21(kakbδcd+kckdδab)+21kakbkckd
虽然计算波源参考系的波形时，标架可以任意取！对于致密双星系统，zzz方向通常沿轨道角动量方向，x,yx, yx,y
但得到的TT规范下的波形是经过投影的，即要经过坐标系变换，变换后的坐标系才是真正从数据中反推出的波源参考系的标架。
对于沿zzz方向传播的引力波，在一般的任意xyxyxy坐标方向下：
hcd=1r2Gc4M¨cd(t−r/c)h_{cd} = \frac{1}{r}\frac{2G}{c^4}\ddot{M}_{cd}(t-r/c)
hcd=r1c42GM¨cd(t−r/c)
投影到TT规范下有：
habTT=Λab,cdhcdh_{ab}^{TT} = \Lambda_{ab,cd} h_{cd}
habTT=Λab,cdhcd
h+=1rGc4(M¨11−M¨22)h×=2rGc4M¨12\begin{aligned}
h_{+} &= \frac{1}{r}\frac{G}{c^4}\left(\ddot{M}_{11} - \ddot{M}_{22}\right)\\
h_{\times} &= \frac{2}{r}\frac{G}{c^4}\ddot{M}_{12}
\end{aligned}h+h×=r1c4G(M¨11−M¨22)=r2c4GM¨12
这里M11M_{11}M11是TT规范投影前，即任意xyxyxy坐标下的量，如果投影前的坐标轴指向变化，McdM_{cd}Mcd会改变，直接带入上式结果不就变了吗？
投影到TT规范后，指标ababab，即x,yx, yx,y方向是与+++极化模式方向一致的！如果x,yx, yx,y绕zzz轴转ϕ\phiϕ角，则将引入偏振角
结论：经过TT规范投影后，在波源参考系中，对zzz方向传播的引力波，+++模式偏振方向与x,yx,yx,y坐标轴一致。其它任意方向，+++偏振模式沿球坐标的经纬线方向！
对于一般方向传播的引力波，可以通过坐标系旋转得到，此时+++偏振方向
对于沿zzz方向震荡的质量，
绕转信号(单频)
在波源参考系，
h+(t;θ,ϕ)=h01+cos2θ2cos(2ωsts+2ϕ)h×(t;θ,ϕ)=h0cosθsin(2ωsts+2ϕ)h0≡4Gc4μR2ωs2r\begin{aligned}
h_+(t; \theta, \phi) &= h_0 \frac{1+\cos^2\theta}{2} \cos(2\omega_s t_s + 2\phi)\\
h_\times(t; \theta, \phi) &= h_0 \cos\theta \sin(2\omega_s t_s + 2\phi)\\
h_0 &\equiv \frac{4G}{c^4} \frac{\mu R^2 \omega^2_s}{r}
\end{aligned}h+(t;θ,ϕ)h×(t;θ,ϕ)h0=h021+cos2θcos(2ωsts+2ϕ)=h0cosθsin(2ωsts+2ϕ)≡c44GrμR2ωs2
在波源参考系中引力波辐射是覆盖全天的，其中θ,ϕ\theta, \phiθ,ϕ为波源参考系中的倾角(inclination)和方位角(azimuth)，ωs\omega_sωs为双星轨道运动角频率，RRR为轨道半径，μ=m1m2M\mu=\frac{m_1 m_2}{M}μ=Mm1m2为约化质量，rrr为距离波源的距离。对于观测者而言，所接收到的只有沿视线方向传播的引力波，此时θ\thetaθ角对应轨道轴向与视线方向夹角(轨道平面相对天球面倾角)ι\iotaι，而ϕ\phiϕ角可通过选择合适的时间起点消除，相当于在波源参考系中将指向观测者的方向作为ϕ\phiϕ的起始方向。考虑到对于开普勒轨道运动R2ωs2=(GMωs)2/3R^2 \omega^2_s = {(G M \omega_s)}^{2/3}R2ωs2=(GMωs)2/3，代入前面公式有：
h0=4G5/3c4μM2/3ωs2/3r=4r(GMcc2)5/3(ωsc)2/3h_0 = \frac{4G^{5/3}}{c^4} \frac{\mu M^{2/3} \omega_s^{2/3} }{r} = \frac{4}{r} \left(\frac{G M_c}{c^2}\right)^{5/3} \left(\frac{\omega_s}{c}\right)^{2/3}
h0=c44G5/3rμM2/3ωs2/3=r4(c2GMc)5/3(cωs)2/3
其中Mc=μ3/5M2/5M_c = \mu^{3/5} M^{2/5}Mc=μ3/5M2/5为啁啾质量。注意，h+,h×h_+, h_\timesh+,h×信号的角频率为2ωs2\omega_s2ωs，即引力波辐射频率为轨道旋转频率的2倍。将引力波频率记为fff，同时考虑到引力波在膨胀宇宙中的传播，最终在观测者坐标系中：
h+(t)=h01+cos2ι2cos[ϕc−2πf(tc−t)]h×(t)=h0cosιsin[ϕc−2πf(tc−t)]h0=4dL(GMcc2)5/3(πfc)2/3\begin{aligned}
h_+(t) &= h_0 \frac{1+\cos^2\iota}{2} \cos\left[\phi_c - 2\pi f (t_c-t)\right]\\
h_\times(t) &= h_0 \cos\iota \sin\left[\phi_c - 2\pi f (t_c-t)\right]\\
h_0 & = \frac{4}{d_L}\left(\frac{G \mathcal{M}_c}{c^2}\right)^{5/3}\left(\frac{\pi f}{c}\right)^{2/3}
\end{aligned}h+(t)h×(t)h0=h021+cos2ιcos[ϕc−2πf(tc−t)]=h0cosιsin[ϕc−2πf(tc−t)]=dL4(c2GMc)5/3(cπf)2/3
这里ι\iotaι为轨道倾角，tct_ctc为并和时刻的时间，ϕc\phi_cϕc为对应的相位，f=11+zfGWf = \frac{1}{1+z}f_{\rm\tiny GW}f=1+z1fGW为包含了红移的引力波观测频率，dLd_LdL为波源的光度距离， Mc=(1+z)Mc\mathcal{M}_c=(1+z)M_cMc=(1+z)Mc 为考虑了红移的啁啾质量。当视线方向与轨道平面平行，ι=π2\iota=\frac{\pi}{2}ι=2π，此时h×h_\timesh×分量为0，对应于电磁波的线偏振。当视线方向与轨道平面垂直，ι=0,π\iota=0, \piι=0,π，此时h+,h×h_+, h_\timesh+,h×分量振幅相等，同时考虑到两种模式相位不同，对应电磁波的圆偏振。一般情况下，h+,h×h_+, h_\timesh+,h×振幅不等，引力波为椭圆偏振，两种偏振振幅相对大小，对应于轴比(axial ratio)，完全由轨道倾角决定∣1+cos2ι2cosι∣\left|\frac{1+\cos^2\iota}{2\cos\iota}\right|∣∣∣∣2cosι1+cos2ι∣∣∣∣。注意∣1+cos2ι2cosι∣=1+(sinιtanι2)2≥1|\frac{1+\cos^2\iota}{2\cos\iota}| =\small\sqrt{1+\left(\frac{\sin\iota\tan\iota}{2}\right)^2} \ge 1∣2cosι1+cos2ι∣=1+(2sinιtanι)2≥1，即+++模式振幅始终比×\times×模式大。此外，由于+++分量相位比×\times×分量相位延迟π2\frac{\pi}{2}2π，从观测者指向波源，椭圆偏振为逆时针/左手？。注意，当轴向
粒子物理约的定，左右手基于自旋方向与传播方向定义，以传播方向为轴向，
因此看向波源时逆时针旋转对应右手，而IAU的约定是基于面对波源的旋转方向与指向波源的轴向，因此逆时针旋转对应左手。虽然都是以看向波源时的旋转方向为基准，但轴向刚好相反。
粒子物理左右手是以传播方向为轴向，IAU则是以看向波源的视线方向(传播的反方向)为轴向。幅角定义IAU是逆时针旋转，CMB中则通常用顺时针旋转。
clockwise or right-handed circular polarization (RHCP) in which the electric field vector rotates in a right-hand sense with respect to the direction of propagation
counter-clockwise or left-handed circular polarization (LHCP) in which the vector rotates in a left-hand sense.
逆时针/左手
频域
并和信号(Chirp)
时域
h+(t)=h0(tret)1+cos2ι2cos[ϕ(tret)]h×(t)=h0(tret)cosιsin[ϕ(tret)]h0(t)=4dL(GMcc2)5/3[πf(t)c]2/3f(t)=18π(tc−t5)−3/8(GMcc3)−5/8(tc−t)5/8=55/8(8πf)−5/3(GMcc3)−25/24ϕ(t)=ϕc−2π∫ttcf(t)=ϕc−2(tc−t)5/8(5GMcc3)−5/8=ϕc−2(GMcc38πf)−5/3\begin{aligned}
h_+(t) &= h_0(t_{\rm ret}) \frac{1+\cos^2\iota}{2} \cos[\phi(t_{\rm ret})]\\
h_\times(t) &= h_0(t_{\rm ret}) \cos\iota \sin[\phi(t_{\rm ret})]\\
h_0(t) & = \frac{4}{d_L}\left(\frac{G \mathcal{M}_c}{c^2}\right)^{5/3}\left[\frac{\pi f(t)}{c}\right]^{2/3}\\
f(t) &= \frac{1}{8\pi} \left(\frac{t_c -t}{5}\right)^{-3/8}\left(\frac{G\mathcal{M}_c}{c^3}\right)^{-5/8}\\
(t_c -t)^{5/8} &= 5^{5/8} (8\pi f)^{-5/3} \left(\frac{G\mathcal{M}_c}{c^3}\right)^{-25/24}\\
\phi(t) &= \phi_c - 2\pi \int_{t}^{t_c} f(t) = \phi_c - 2(t_c -t)^{5/8}\left(5\frac{G\mathcal{M}_c}{c^3}\right)^{-5/8}\\
&= \phi_c - 2 \left(\frac{G\mathcal{M}_c}{c^3} 8\pi f\right)^{-5/3}
\end{aligned}h+(t)h×(t)h0(t)f(t)(tc−t)5/8ϕ(t)=h0(tret)21+cos2ιcos[ϕ(tret)]=h0(tret)cosιsin[ϕ(tret)]=dL4(c2GMc)5/3[cπf(t)]2/3=8π1(5tc−t)−3/8(c3GMc)−5/8=55/8(8πf)−5/3(c3GMc)−25/24=ϕc−2π∫ttcf(t)=ϕc−2(tc−t)5/8(5c3GMc)−5/8=ϕc−2(c3GMc8πf)−5/3
其中tret=t−dLct_{\rm ret} = t - \frac{d_L}{c}tret=t−cdL为延迟时间。
h0(t)=1dL(GMcc2)5/4[c(tc−t)5]−1/4h_0(t) = \frac{1}{d_L}\left(\frac{G \mathcal{M}_c}{c^2}\right)^{5/4}\left[\frac{c(t_c-t)}{5}\right]^{-1/4}
h0(t)=dL1(c2GMc)5/4[5c(tc−t)]−1/4
ϕ(t)=ϕ(t∗)+ϕ˙(t∗) (t−t∗)+ϕ¨(t∗)2(t−t∗)2+...\phi(t) = \phi(t_*) + \dot{\phi}(t_*)~(t - t_*) + \frac{\ddot{\phi}(t_*)}{2}(t - t_*)^2 + ...ϕ(t)=ϕ(t∗)+ϕ˙(t∗) (t−t∗)+2ϕ¨(t∗)(t−t∗)2+...
稳相近似
快速震荡的积分，稳相近似(驻相法/鞍点法) Maggiore P296
一方面积分是截断到并和时间tct_ctc(对应fISCOf_{\rm ISCO}fISCO)，tct_ctc之后是没有意义的。其次，在h0(tc)h_0(t_c)h0(tc)是发散的
傅里叶变换要求积分收敛，
直观看似乎没法计算。考虑到指数部分的虚部，被积函数是高度震荡，且随着频率增加震荡加快，h0(t)h_0(t)h0(t)发散时，由于快速震荡积分抵消。事实上对于这种快速震荡的积分，数学上可以使用稳相近似：最终的积分事实上仅由稳相点附近积分决定，其余分布全部震荡抵消。
进行稳相近似，需要找到相位的稳定点(stationary point)，数学上对应于相位一阶导为零。注意，这里“相位”不是引力波的相位ϕ(t)\phi(t)ϕ(t)，而是被积函数在数学上的相位(e指数虚部)，即2πft−ϕ(tret)2\pi f t - \phi(t_{\rm ret})2πft−ϕ(tret)。
傅里叶积分
I(x)=∫abf(t)eixψ(t)dtI(x) = \int_a^b f(t)e^{i x \psi(t)} dt
I(x)=∫abf(t)eixψ(t)dt
如果在积分区间内ψ˙(t)≠0\dot{\psi}(t) \neq 0ψ˙(t)=0，即没有稳相点，可使用分部积分：
I(x)=∫abf(t)1ixψ′(t)d[eixψ(t)]=1ixf(t)ψ′(t)eixψ(t)∣ab−1ix∫abddt[f(t)ψ′(t)]eixψ(t)dtI(x) = \int_a^b f(t) \frac{1}{i x \psi'(t)} d \left[e^{i x \psi(t)}\right] = \frac{1}{i x} \frac{f(t)}{\psi'(t)} e^{i x \psi(t)} \Big|_a^b - \frac{1}{i x} \int_a^b \frac{d}{dt} \left[\frac{ f(t) }{\psi'(t)}\right] e^{i x \psi(t)} dt
I(x)=∫abf(t)ixψ′(t)1d[eixψ(t)]=ix1ψ′(t)f(t)eixψ(t)∣∣∣∣ab−ix1∫abdtd[ψ′(t)f(t)]eixψ(t)dt
其中前一项∼1x\sim \frac{1}{x}∼x1，后一项形式上仍是傅里叶积分，考虑到前面的1x\frac{1}{x}x1，整体上∼1x2\sim \frac{1}{x^2}∼x21。当x→∞x \rightarrow \inftyx→∞时，可用前一项作为近似。
如果在积分区间内，存在稳相点t∗t_*t∗，使得ψ˙(t∗)=0\dot{\psi}(t_*) = 0ψ˙(t∗)=0，则上述结果发散，因此需要对稳相点附近区域单独讨论。此时可以在稳相点邻域[t−ϵ,t+ϵ][t-\epsilon, t+\epsilon][t−ϵ,t+ϵ]对ψ(t)\psi(t)ψ(t)做展开：
∫t∗−ϵt∗+ϵf(t)eixψ(t)dt≈∫t∗−ϵt∗+ϵf(t)eix[ψ(t∗)+ψ′(t∗)(t−t∗)+12ψ′′(t∗)(t−t∗)2]dt≈f(t∗)eixψ(t∗)∫t∗−ϵt∗+ϵeix12ψ′′(t∗)(t−t∗)2dt=f(t∗)eixψ(t∗)2x∣ψ′′(t∗)∣∫ϵx12∣ψ′′(t∗)∣−ϵx12∣ψ′′(t∗)∣ei sign[ψ′′(t∗)] τ2dτ\begin{aligned}
\int_{t_*-\epsilon}^{t_*+\epsilon} f(t)e^{i x \psi(t)} dt &\approx \int_{t_*-\epsilon}^{t_*+\epsilon} f(t)e^{i x [\psi(t_*) + \psi'(t_*)(t-t_*) + \frac{1}{2}\psi''(t_*)(t-t_*)^2]} dt\\
&\approx f(t_*)e^{i x \psi(t_*)} \int_{t_*-\epsilon}^{t_*+\epsilon} e^{i x \frac{1}{2}\psi''(t_*)(t-t_*)^2} dt\\
&= f(t_*)e^{i x \psi(t_*)} \sqrt{\small \frac{2}{x |\psi''(t_*)|}} \int_{\epsilon\tiny\sqrt{x \frac{1}{2}|\psi''(t_*)|}}^{-\epsilon\tiny\sqrt{x \frac{1}{2}|\psi''(t_*)|}} e^{i ~ {\rm sign}[\psi''(t_*)] ~ \tau^2} d\tau
\end{aligned}∫t∗−ϵt∗+ϵf(t)eixψ(t)dt≈∫t∗−ϵt∗+ϵf(t)eix[ψ(t∗)+ψ′(t∗)(t−t∗)+21ψ′′(t∗)(t−t∗)2]dt≈f(t∗)eixψ(t∗)∫t∗−ϵt∗+ϵeix21ψ′′(t∗)(t−t∗)2dt=f(t∗)eixψ(t∗)x∣ψ′′(t∗)∣2∫ϵx21∣ψ′′(t∗)∣−ϵx21∣ψ′′(t∗)∣ei sign[ψ′′(t∗)] τ2dτ
当x→∞x\rightarrow\inftyx→∞，积分部分趋向于∫−∞∞e±iτ2dτ=πe±iπ4\int_{-\infty}^{\infty} e^{\pm i \tau^2} d\tau = \sqrt{\pi}e^{\pm i\frac{\pi}{4}}∫−∞∞e±iτ2dτ=πe±i4π，因此最终有：
∫t∗−ϵt∗+ϵf(t)eixψ(t)dt≈f(t∗)eixψ(t∗)1x2π∣ψ′′(t∗)∣ei sign[ψ′′(t∗)] π4∼O(x−12),x→∞\int_{t_*-\epsilon}^{t_*+\epsilon} f(t)e^{i x \psi(t)} dt \approx f(t_*)e^{i x \psi(t_*)} \frac{1}{\sqrt{x}} \sqrt{\small \frac{2\pi}{|\psi''(t_*)|}} e^{i ~ {\rm sign}[\psi''(t_*)] ~ \frac{\pi}{4}} \sim O\left(x^{-\frac{1}{2}}\right), x\rightarrow\infty
∫t∗−ϵt∗+ϵf(t)eixψ(t)dt≈f(t∗)eixψ(t∗)x1∣ψ′′(t∗)∣2πei sign[ψ′′(t∗)] 4π∼O(x−21),x→∞
即，当x→∞x\rightarrow\inftyx→∞，在稳相点附近的渐近行为是O(x−12)O\left(x^{-\frac{1}{2}}\right)O(x−21)，而稳相点之外的区域，根据前面的讨论是O(x−1)O\left(x^{-1}\right)O(x−1)。整体积分最终将有稳相点附近结果主导，从而计算积分时可只考虑稳相点处结果，被称为稳相近似。
注意，上述讨论中f(t∗)f(t_*)f(t∗)不能取0，当f(t∗)=0f(t_*)=0f(t∗)=0，分部积分中f(t)ψ′(t)\frac{f(t)}{\psi'(t)}ψ′(t)f(t)可能就不发散了，需要具体讨论。此外还需要假设ψ′′(t∗)\psi''(t_*)ψ′′(t∗)存在且不为零，当ψ′′(t∗)\psi''(t_*)ψ′′(t∗)也为零时，只需要将相位展开到更高阶，可以得到类似结论，且此时稳相点附近渐近衰减的更慢，O(x−13)O\left(x^{-\frac{1}{3}}\right)O(x−31)或更高。最后，当积分区间存在多个稳相点时，利用分段积分，对每个稳相点分别计算，全部求和即可。
振幅h0(t)h_0(t)h0(t) ? logh0(t)\log h_0(t)logh0(t)? 相对相位2πft−ϕ(t)2\pi f t - \phi(t)2πft−ϕ(t)变化缓慢
画2πft−ϕ(t)2\pi f t - \phi(t)2πft−ϕ(t)的图
Culter & Flanagan 1994给了条件，但没有任何解释条件的引入原因
lnh0(t)˙≪Φ˙(t),Φ¨(t)≪Φ˙(t)2\dot{\ln h_0(t)} \ll \dot{\Phi}(t), \ddot{\Phi}(t) \ll \dot{\Phi}(t)^2
lnh0(t)˙≪Φ˙(t),Φ¨(t)≪Φ˙(t)2
lnh0(t)˙=h0˙(t)h0(t),Φ˙(t)=2πf−ϕ˙(t),Φ¨(t)=ϕ¨(t)\dot{\ln h_0(t)} = \frac{\dot{h_0}(t)}{h_0(t)}, \dot{\Phi}(t) = 2\pi f - \dot{\phi}(t), \ddot{\Phi}(t) = \ddot{\phi}(t)
lnh0(t)˙=h0(t)h0˙(t),Φ˙(t)=2πf−ϕ˙(t),Φ¨(t)=ϕ¨(t)
h~+(f)=∫h0(t)eiϕ(t)e−i[2πf(t−dLc]dt=∫h0(t)ei[ϕ(t∗)+ϕ˙(t∗) (t−t∗)+ϕ¨(t∗)2(t−t∗)2]e−i[2πf(t−dLc]dt=h0(t∗)eiϕ(t∗)e−i[2πf(t∗+dLc)]∫eiϕ¨(t∗)2(t−t∗)2dt=h0(t∗)eiϕ(t∗)e−i[2πf(t∗+dLc)][ϕ¨(t∗)2]−1/2∫−∞∞eix2dx=h0(t∗)eiϕ(t∗)e−i[2πf(t∗+dLc)][ϕ¨(t∗)2π]−1/2eiπ4=h~0(f)e−iΨ(f)\begin{aligned}
\tilde{h}_+(f) &= \int h_0(t) e^{i\phi(t)} e^{-i[2 \pi f (t - \frac{d_L}{c}]} dt\\
&= \int h_0(t) e^{i[\phi(t_*) + \dot{\phi}(t_*)~(t - t_*) + \frac{\ddot{\phi}(t_*)}{2}(t - t_*)^2]} e^{-i[2 \pi f (t - \frac{d_L}{c}]} dt\\
&= h_0(t_*) e^{i\phi(t_*)} e^{-i[2 \pi f (t_* + \frac{d_L}{c})]} \int e^{i\frac{\ddot{\phi}(t_*)}{2}(t - t_*)^2} dt\\
&= h_0(t_*) e^{i\phi(t_*)} e^{-i[2 \pi f (t_* + \frac{d_L}{c})]} \left[\textstyle \frac{\ddot{\phi}(t_*)}{2}\right]^{-1/2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{ix^2} dx\\
&= h_0(t_*) e^{i\phi(t_*)} e^{-i[2 \pi f (t_* + \frac{d_L}{c})]} \left[\textstyle \frac{\ddot{\phi}(t_*)}{2\pi}\right]^{-1/2} e^{i\frac{\pi}{4}}\\
&= \tilde{h}_0(f) e^{-i\Psi(f)}
\end{aligned}h~+(f)=∫h0(t)eiϕ(t)e−i[2πf(t−cdL]dt=∫h0(t)ei[ϕ(t∗)+ϕ˙(t∗) (t−t∗)+2ϕ¨(t∗)(t−t∗)2]e−i[2πf(t−cdL]dt=h0(t∗)eiϕ(t∗)e−i[2πf(t∗+cdL)]∫ei2ϕ¨(t∗)(t−t∗)2dt=h0(t∗)eiϕ(t∗)e−i[2πf(t∗+cdL)][2ϕ¨(t∗)]−1/2∫−∞∞eix2dx=h0(t∗)eiϕ(t∗)e−i[2πf(t∗+cdL)][2πϕ¨(t∗)]−1/2ei4π=h~0(f)e−iΨ(f)
h~0(f)≡12h0(t∗)[ϕ¨(t∗)2π]−1/2Ψ(f)=2πf(t∗+dLc)−ϕ(t∗)−π4\begin{aligned}
\tilde{h}_0(f) &\equiv \frac{1}{2} h_0(t_*)\left[\frac{\ddot{\phi}(t_*)}{2\pi}\right]^{-1/2} \\
\Psi(f) &= 2 \pi f (t_* + {\textstyle \frac{d_L}{c}}) - \phi(t_*) - \frac{\pi}{4}\\
\end{aligned}h~0(f)Ψ(f)≡21h0(t∗)[2πϕ¨(t∗)]−1/2=2πf(t∗+cdL)−ϕ(t∗)−4π
ϕ(f)=ϕc−2 (GMcc38πf)−5/3t(f)=tc−5 (8πf)−8/3(GMcc3)−5/3\begin{aligned}
\phi(f) &= \textstyle \phi_c - 2 ~ \left(\frac{G\mathcal{M}_c}{c^3} 8\pi f\right)^{-5/3}\\
t(f) &= \textstyle t_c - 5 ~ (8\pi f)^{-8/3} \left(\frac{G\mathcal{M}_c}{c^3}\right)^{-5/3}
\end{aligned}ϕ(f)t(f)=ϕc−2 (c3GMc8πf)−5/3=tc−5 (8πf)−8/3(c3GMc)−5/3
h~0(f)=12 c dL(5π6)1/2(GMcc2)5/6(πfc)−7/6Ψ(f)=2πf(tc+dLc)−ϕc+34(GMcc38πf)−5/3−π4\begin{aligned}
\tilde{h}_0(f) &= \frac{1}{2 ~c~ d_L} \left(\frac{5\pi}{6}\right)^{1/2} \left(\frac{G \mathcal{M}_c}{c^2}\right)^{5/6} \left(\frac{\pi f}{c}\right)^{-7/6}\\
\Psi(f) &= \textstyle 2 \pi f (t_c + {\frac{d_L}{c}}) - \phi_c + \frac{3}{4} \left( \frac{G\mathcal{M}_c}{c^3}8\pi f\right)^{-5/3} - \frac{\pi}{4}
\end{aligned}h~0(f)Ψ(f)=2 c dL1(65π)1/2(c2GMc)5/6(cπf)−7/6=2πf(tc+cdL)−ϕc+43(c3GMc8πf)−5/3−4π
f(t)=18π(tc−t5)−3/8(GMcc3)−5/8tc−t5=(8πf)−8/3(GMcc3)−5/3ϕ(t)=ϕc−2[GMcc38πf(t)]−5/3\begin{aligned}
f(t) &= \frac{1}{8\pi} \left(\frac{t_c -t}{5}\right)^{-3/8}\left(\frac{G\mathcal{M}_c}{c^3}\right)^{-5/8}\\
\frac{t_c -t}{5} &= (8\pi f)^{-8/3} \left(\frac{G\mathcal{M}_c}{c^3}\right)^{-5/3}\\
% \dot{f}(t) &= \frac{1}{5}\frac{3}{8} \left(\frac{t_c -t}{5}\right)^{-1} f = 3\pi \left(8\pi \frac{G\mathcal{M}_c}{c^3}\right)^{5/3} f^{11/3}
\phi(t) &= \phi_c - 2 \left[\frac{G\mathcal{M}_c}{c^3} 8\pi f(t)\right]^{-5/3}
\end{aligned}f(t)5tc−tϕ(t)=8π1(5tc−t)−3/8(c3GMc)−5/8=(8πf)−8/3(c3GMc)−5/3=ϕc−2[c3GMc8πf(t)]−5/3
ϕ(t)=ϕ(t∗)+ϕ˙(t∗) (t−t∗)+ϕ¨(t∗)2(t−t∗)2+...ϕ˙(t∗)=2πfϕ¨(t∗)=2πf˙=2π 15 38(tc−t∗5)−1f=64×3c5(GMcc2)5/3(πfc)11/3\begin{aligned}
\phi(t) &= \phi(t_*) + \dot{\phi}(t_*)~(t - t_*) + \frac{\ddot{\phi}(t_*)}{2}(t - t_*)^2 + ...\\
\dot{\phi}(t_*) &= 2 \pi f \\
\ddot{\phi}(t_*) &= 2 \pi \dot{f} = 2 \pi ~\frac{1}{5}~ \frac{3}{8} \left(\frac{t_c -t_*}{5}\right)^{-1} f = 64 \times \frac{3c}{5} \left(\frac{G\mathcal{M}_c}{c^2}\right)^{5/3} \left(\frac{\pi f}{c}\right)^{11/3}
\end{aligned}ϕ(t)ϕ˙(t∗)ϕ¨(t∗)=ϕ(t∗)+ϕ˙(t∗) (t−t∗)+2ϕ¨(t∗)(t−t∗)2+...=2πf=2πf˙=2π 51 83(5tc−t∗)−1f=64×53c(c2GMc)5/3(cπf)11/3
h0(t∗)=4dL(GMcc2)5/3[πfc]2/3h_0(t_*) = \frac{4}{d_L}\left(\frac{G \mathcal{M}_c}{c^2}\right)^{5/3}\left[\frac{\pi f}{c}\right]^{2/3}
h0(t∗)=dL4(c2GMc)5/3[cπf]2/3
h~0(f)≡12h0(t∗)[ϕ¨(t∗)2π]−1/2=124dL(GMcc2)5/3(πfc)2/314c(5π6)1/2(GMcc2)−5/6(πfc)−11/6=12 c dL(5π6)1/2(GMcc2)5/6(πfc)−7/6\begin{aligned}
\tilde{h}_0(f) &\equiv \frac{1}{2} h_0(t_*)\left[\frac{\ddot{\phi}(t_*)}{2\pi}\right]^{-1/2} \\
&= \frac{1}{2} \frac{4}{d_L}\left(\frac{G \mathcal{M}_c}{c^2}\right)^{5/3}\left(\frac{\pi f}{c}\right)^{2/3} \frac{1}{4c} \left(\frac{5\pi}{6}\right)^{1/2} \left(\frac{G\mathcal{M}_c}{c^2}\right)^{-5/6} \left(\frac{\pi f}{c}\right)^{-11/6} \\
&= \frac{1}{2 ~c~ d_L} \left(\frac{5\pi}{6}\right)^{1/2} \left(\frac{G \mathcal{M}_c}{c^2}\right)^{5/6} \left(\frac{\pi f}{c}\right)^{-7/6}
\end{aligned}h~0(f)≡21h0(t∗)[2πϕ¨(t∗)]−1/2=21dL4(c2GMc)5/3(cπf)2/34c1(65π)1/2(c2GMc)−5/6(cπf)−11/6=2 c dL1(65π)1/2(c2GMc)5/6(cπf)−7/6
频域
h~+(f)=h~0(f)1+cos2ι2eiΨ(f)h~×(f)=h~0(f)cosι ei[Ψ(f)+π2]h~0(f)=12 c dL(5π6)1/2(GMcc2)5/6(πfc)−7/6Ψ(f)=2πf(tc+dLc)−ϕc−π4+34(GMcc38πf)−5/3\begin{aligned}
\tilde{h}_+(f) &= \tilde{h}_0(f) \frac{1+\cos^2\iota}{2} e^{i\Psi(f)}\\
\tilde{h}_\times(f) &= \tilde{h}_0(f) \cos\iota ~ e^{i\left[\Psi(f)+\frac{\pi}{2}\right]}\\
\tilde{h}_0(f) &= \frac{1}{2 ~c~ d_L} \textstyle \left(\frac{5\pi}{6}\right)^{1/2} \left(\frac{G \mathcal{M}_c}{c^2}\right)^{5/6} \left(\frac{\pi f}{c}\right)^{-7/6}\\
\Psi(f) & = \textstyle 2 \pi f(t_c+ {\textstyle \frac{d_L}{c}}) - \phi_c -\frac{\pi}{4} + \frac{3}{4}\left( \frac{G\mathcal{M_c}}{c^3} 8\pi f\right)^{-5/3}
\end{aligned}h~+(f)h~×(f)h~0(f)Ψ(f)=h~0(f)21+cos2ιeiΨ(f)=h~0(f)cosι ei[Ψ(f)+2π]=2 c dL1(65π)1/2(c2GMc)5/6(cπf)−7/6=2πf(tc+cdL)−ϕc−4π+43(c3GMc8πf)−5/3
注意频谱的幅度∣h(f)∣|h(f)|∣h(f)∣随频率并不是增加的，而是减少的！因为旋近阶段，系统在低频演化更缓慢，随着频率增加演化变快，总体上在低频的谱密度(单位频率的能量)更大。并和时上述近似不成立，利用数值相对论，∣h(f)∣|h(f)|∣h(f)∣可能有小幅抬升，最后快速下降。
注意频域波形/频谱为复数A(f)eiΦ(f)A(f)e^{i\Phi(f)}A(f)eiΦ(f)：
从实部虚部理解：实部虚部分别对应信号对称及反称部分x(t)+x(−t)2,x(t)−x(−t)2\frac{x(t) + x(-t)}{2}, \frac{x(t) - x(-t)}{2}2x(t)+x(−t),2x(t)−x(−t)。单看频谱的实部或虚部都是随频率高度震荡的，但这个震荡意义不大，更物理的角度是基于模长辐角理解。
从模长辐角理解：模长A(f)A(f)A(f)代表不同频率成分的幅值，而辐角Φ(f)\Phi(f)Φ(f)代表不同对应频率成分的初始相位。将所有频率成分以幅谱为权重、相谱为相位偏移，进行叠加就可得到对应的时域信号。
通常文献中绘制的频谱都是与模长对应的特征频谱h~c(f)\tilde{h}_c(f)h~c(f)，展示的是不同频率成分比重，而不关注各频率成分的相位偏移。但实际用到频域波形时，还是必须要要考虑辐角部分的，比如在在Fisher信息矩阵中？？：
Γij=⟨∂θih∣∂θjh⟩=⟨∂θiA∣∂θjA⟩+⟨A∂θiΦ∣A∂θjΦ⟩???\Gamma_{ij} = \left\langle \partial_{\theta_i} h | \partial_{\theta_j} h \right\rangle = \left\langle \partial_{\theta_i} A | \partial_{\theta_j} A \right\rangle + \left\langle A \partial_{\theta_i} \Phi | A \partial_{\theta_j} \Phi \right\rangle ???
Γij=⟨∂θih∣∂θjh⟩=⟨∂θiA∣∂θjA⟩+⟨A∂θiΦ∣A∂θjΦ⟩???
后牛顿近似(post-Newtonian approximation)
限制性后牛顿(“restricted” PN approximation)
忽略了振幅修正，只考虑相位修正 Maggiore P296
从数学上，
从物理上，相位信息更重要
只考虑2倍轨道频率的项，忽略高阶谐频的贡献。
“限制性”后牛顿近似：忽略了振幅修正，只考虑相位修正 Maggiore P296
Ψ(f)=2πf(tc+dLc)−ϕc−π4+34(GMcc38πf)−5/3(1+xPN)xPN=(3715756+559η)x+16πx3/2+(15293365508032+27145504η+308572η2)x2x(f)=(1+z)2/3(vc)2=[GM(1+z)c2πfc]2/3; η=μM=m1m2M2\begin{aligned}
\Psi(f) &=\textstyle 2 \pi f(t_c+ \frac{d_L}{c}) - \phi_c -\frac{\pi}{4} + \frac{3}{4}\left( \frac{G\mathcal{M_c}}{c^3} 8\pi f\right)^{-5/3}( 1 + x_{\rm\tiny PN})\\
x_{\rm\tiny PN} &= \small \left(\frac{3715}{756} + \frac{55}{9}\eta\right)x + 16\pi x^{3/2} + \left(\frac{15293365}{508032} + \frac{27145}{504}\eta + \frac{3085}{72}\eta^2 \right)x^2\\
x(f) &= \textstyle (1+z)^{2/3}\left(\frac{v}{c}\right)^2 = \left[\frac{G M (1+z)}{c^2}\frac{\pi f}{c}\right]^{2/3}; ~~ \eta = \frac{\mu}{M} = \frac{m_1 m_2}{M^2}
\end{aligned}Ψ(f)xPNx(f)=2πf(tc+cdL)−ϕc−4π+43(c3GMc8πf)−5/3(1+xPN)=(7563715+955η)x+16πx3/2+(50803215293365+50427145η+723085η2)x2=(1+z)2/3(cv)2=[c2GM(1+z)cπf]2/3; η=Mμ=M2m1m2
∣h~(f)∣2=∣h~0(f)∣2g(ι)g(ι)=(1+cos2ι2)2+cos2ι⟨g(ι)⟩ι=14π???∫02πg(ι)dι=45???\begin{aligned}
\left|\tilde{h}(f)\right|^2 &= \left|\tilde{h}_0(f)\right|^2 g(\iota)\\
g(\iota) &= \textstyle \left(\frac{1+\cos^2\iota}{2}\right)^2 + \cos^2\iota\\
\left\langle g(\iota)\right\rangle_\iota &= \frac{1}{4\pi???} \int_0^{2\pi} g(\iota) d\iota = \frac{4}{5}???
\end{aligned}∣∣∣∣h~(f)∣∣∣∣2g(ι)⟨g(ι)⟩ι=∣∣∣∣h~0(f)∣∣∣∣2g(ι)=(21+cos2ι)2+cos2ι=4π???1∫02πg(ι)dι=54???
h+(t)=h0(tret)1+cos2ι2eiϕ(tret)h×(t)=h0(tret)cosι ei[ϕ(tret)+π2]\begin{aligned}
h_+(t) &= h_0(t_{\rm ret}) \frac{1+\cos^2\iota}{2} e^{i\phi(t_{\rm ret})}\\
h_\times(t) &= h_0(t_{\rm ret}) \cos\iota ~ e^{i\left[\phi(t_{\rm ret}) + \frac{\pi}{2}\right]}
\end{aligned}h+(t)h×(t)=h0(tret)21+cos2ιeiϕ(tret)=h0(tret)cosι ei[ϕ(tret)+2π]
随机背景
波源频谱划分
甚高频：兆赫兹megahertz、吉赫兹gigahertz (Aggarwal et al. 2021)
时标尺度：105∼1012Hz10^5 \sim 10^{12}\rm Hz105∼1012Hz
引力波源：早期宇宙(随机背景)、天体等离子震荡、强子对撞机
探测方案：【时空波动】小型激光干涉、光学悬浮传感器、体声波谐振器
【电磁响应】逆GZ效应(磁转换)、Li-Baker探测器(增强磁转换)
高频：百赫兹hectohertz
时标尺度：10∼105Hz10 \sim 10^5\rm Hz10∼105Hz，0.01ms∼10s0.01 {\rm ms} \sim 10 s0.01ms∼10s
引力波源：致密双星并和、随机背景(早期宇宙/天体源)、恒星坍缩/超新星爆炸、中子星自旋
探测方案：【激光干涉】aLIGO, adVirgo, KAGRA, CE, ET
中频：分赫兹decihertz
时标尺度：0.1∼10Hz0.1 \sim 10\rm Hz0.1∼10Hz
引力波源：
探测方案：【空间激光干涉】：AMIGO, DECIGO, BBO
【月球激光干涉】：LGWA, LION
【重力梯度波动】：原子干涉MAGIS, ELGAR, AION, ZAIGA、扭摆天线TOBA、超导重力计SOGRO
低频：毫赫兹millihertz
时标尺度：0.1mHz∼1Hz0.1{\rm mHz} \sim 1\rm Hz0.1mHz∼1Hz，1s∼3 hours1 s \sim 3 ~ {\rm hours}1s∼3 hours
引力波源：
探测方案：【激光干涉】LISA, Taiji, Tianqin
？低频：微赫兹microhertz
时标尺度：1∼105μHz1 \sim 10^5\rm \mu Hz1∼105μHz
引力波源：
探测方案：【激光干涉】(地球轨道) ASTROD-GW, μAres
【双星轨道共振】月球、卫星、脉冲双星
甚低频：纳赫兹nanohertz
时标尺度：pc\rm pcpc尺度； 1∼100 nHz1 \sim 100~\rm nHz1∼100 nHz, 100 days∼30 years100 ~ {\rm days} \sim 30 ~ {\rm years}100 days∼30 years
引力波源：
探测方案：PTA, γ\gammaγ-ray PTA
极低频：飞赫兹femtohertz、皮赫兹picohertz
时标尺度：Mpc∼Gpc\rm Mpc \sim GpcMpc∼Gpc(Hubble scale)； 10−17∼10−10 Hz10^{-17} \sim 10^{-10}~\rm Hz10−17∼10−10 Hz
引力波源：早期宇宙(随机背景)
探测方案：CMB B-modes、Quasar proper motions
并和时标 v.s. 周期时标
τ=7.5 days(McM⊙)−5/3(f1Hz)−8/3\tau = 7.5 ~ {\rm days} \left(\frac{M_c}{M_\odot}\right)^{-5/3} \left(\frac{f}{1\rm Hz}\right)^{-8/3}
τ=7.5 days(M⊙Mc)−5/3(1Hzf)−8/3
τ=9.4s(Mc20M⊙)−5/3(f10Hz)−8/3\tau = 9.4 s \left(\frac{M_c}{20M_\odot}\right)^{-5/3} \left(\frac{f}{10\rm Hz}\right)^{-8/3}
τ=9.4s(20M⊙Mc)−5/3(10Hzf)−8/3
τ=1 month(Mc106M⊙)−5/3(f0.1mHz)−8/3\tau = 1 ~ {\rm month} \left(\frac{M_c}{10^6M_\odot}\right)^{-5/3} \left(\frac{f}{0.1\rm mHz}\right)^{-8/3}
τ=1 month(106M⊙Mc)−5/3(0.1mHzf)−8/3
尺度、时标、频率
多波段多信使